Giáo Dục

Phương trình lượng giác cơ bản


website.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình lượng giác cơ bản gồm câu hỏi bài tập, ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết cách giải các phương trình sinx, cosx, tanx, cotx hỗ trợ quá trình ôn luyện cho bạn đọc. Tài liệu được website biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 – 11 – 12

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, website mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do website.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình lượng giác cơ bản

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Phương trình sin x=a (1)

  • Nếu left| a right|>1 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu left| a right|le 1Rightarrow exists beta in left[ frac{-pi }{2};frac{pi }{2} right],sin beta =a

(1)Rightarrow sin x=sin beta Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=beta +k2pi  x=pi -beta +k2pi  end{matrix} right.(kin mathbb{Z})

Chú ý: Nếu beta thỏa mãn điều kiện thì beta =arcsin a

  • Một số phương trình đặc biệt:

i. sin x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi (kin mathbb{Z})

ii. sin x=0Leftrightarrow x=kpi (kin mathbb{Z})

iii. sin x=-1Leftrightarrow x=frac{-pi }{2}+k2pi (kin mathbb{Z})

  • Mở rộng phương trình ta có: sin f(x)=sin g(x)

Leftrightarrowleft[ begin{matrix} f(x)=g(x)+k2pi  f(x)=pi -g(x)+k2pi  end{matrix}(kin mathbb{Z}) right.

2. Phương trình cos x=a (2)

  • Nếu left| a right|>1 thì phương trình vô nghiệm
  • Nếu left| a right|le 1Rightarrow exists beta in left[ 0,pi right],cos beta =a

(2)Rightarrow cos x=cos beta Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=beta +k2pi  x=-beta +k2pi  end{matrix} right.(kin mathbb{Z})

Chú ý: Nếu beta thỏa mãn điều kiện thì beta =arccos a

  • Một số phương trình đặc biệt:

i. cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi (kin mathbb{Z})

ii. cos x=1Leftrightarrow x=k2pi (kin mathbb{Z})

iii. cos x=-1Leftrightarrow x=-pi +k2pi (kin mathbb{Z})

  • Mở rộng phương trình ta có: cos f(x)=cos g(x)

Leftrightarrow left[ begin{matrix} f(x)=g(x)+k2pi  f(x)=-g(x)+k2pi  end{matrix}(kin mathbb{Z}) right.

3. Phương trình tan x=a (3)

  • Với forall mRightarrow exists alpha in left( frac{-pi }{2},frac{pi }{2} right),tan beta =a

(3)Leftrightarrow tan x=tan beta Leftrightarrow x=beta +kpi (kin mathbb{Z})

beta =arctan a

  • Một số phương trình đặc biệt:

i. tan x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi

ii. tan x=0Leftrightarrow x=kpi

iii. tan x=-1Leftrightarrow x=-frac{pi }{4}+kpi

  • Mở rộng phương trình ta có:

tan f(x)=tan g(x)

Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi (kin mathbb{Z})

4. Phương trình cot x=a (4)

  • Với forall mRightarrow exists alpha in left( frac{-pi }{2},frac{pi }{2} right),cot beta =a

(4)Leftrightarrow cot x=cot beta Leftrightarrow x=beta +kpi (kin mathbb{Z})

beta = arccota

  • Một số phương trình đặc biệt:

i. cot x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi (kin mathbb{Z})

ii. cot x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi (kin mathbb{Z})

iii. cot x=-1Leftrightarrow x=-pi +k2pi (kin mathbb{Z})

  • Mở rộng phương trình ta có:

cot f(x)=cot g(x)

Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi (kin mathbb{Z})

II. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: operatorname{s}text{inx}=sin frac{pi }{3}

Hướng dẫn giải

operatorname{s}text{inx}=sin frac{pi }{3}Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{pi }{3}+k2pi  x=pi -frac{pi }{3}+k2pi  end{matrix}Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{pi }{3}+k2pi  x=frac{2pi }{3}+k2pi  end{matrix}(kin mathbb{Z}) right. right.

Ví dụ 2: Giải phương trình: operatorname{s}text{inx}=cos frac{pi }{3}

Hướng dẫn giải

operatorname{s}text{inx}=cos frac{pi }{3}Rightarrow operatorname{s}text{inx}=sin left( frac{pi }{2}-frac{pi }{3} right)Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{pi }{6}+k2pi  x=pi -frac{pi }{6}+k2pi  end{matrix}Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{pi }{6}+k2pi  x=frac{5pi }{6}+k2pi  end{matrix}(kin mathbb{Z}) right. right.

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin (pi sinx)=frac{sqrt{2}}{2}

Hướng dẫn giải

Leftrightarrow left[ begin{matrix} pi sinx=frac{pi }{4}+k2pi  pi sinx=pi -frac{pi }{4}+k2pi  end{matrix}Leftrightarrow left[ begin{matrix} sinx=frac{1}{4}+2k  sinx=frac{3}{4}+2k  end{matrix} right. right.

Do left[ begin{matrix} -1le frac{1}{4}+2kle 1  -1le frac{3}{4}+2kle 1  end{matrix} right.Leftrightarrow k=0

Leftrightarrow left[ begin{matrix} sin x=frac{1}{4}  sin x=frac{3}{4}  end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=arcsin frac{1}{4}+k'2pi  begin{align} & x=pi -arcsin frac{1}{4}+k'2pi  & x=arcsin frac{3}{4}+k'2pi  & x=pi -arcsin frac{3}{4}+k'2pi  end{align}  end{matrix} right.(kin mathbb{Z})

Ví dụ 4: Gỉải phương trình: cos ({{x}^{2}})=operatorname{s}text{inx}

Hướng dẫn giải

cos ({{x}^{2}})=operatorname{s}text{inx}Leftrightarrow cos ({{x}^{2}})=cos (frac{pi }{2}-x)

Leftrightarrow left[ begin{align} & {{x}^{2}}=frac{pi }{2}-x+k2pi text{ (1)}  & {{x}^{2}}=-(frac{pi }{2}-x)+k2pi text{ (2)}  end{align} right.

(1)Leftrightarrow {{x}^{2}}-frac{pi }{2}+x-k2pi =0

Để phương trình có nghiệm ta có:

Delta =1+2pi +8kpi ge 0Leftrightarrow kge -frac{1+2pi }{8pi }text{ }

Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay kin mathbb{N}

Ta thu được nghiệm

{{x}_{1,2}}=frac{-1pm sqrt{Delta }}{2}(kin mathbb{N})

Giải tương tự với phương trình (2)

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3operatorname{cosx}+sqrt{3}operatorname{s}text{inx}=1

Hướng dẫn giải

3operatorname{cosx}+sqrt{3}operatorname{s}text{inx}=1Leftrightarrow sqrt{3}cos x+sin text{x=}frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow cos left( x-frac{pi }{6} right)=frac{1}{2sqrt{3}}

Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{pi }{6}+text{arccos}frac{1}{2sqrt{3}}+k2pi  x=frac{pi }{6}-text{arccos}frac{1}{2sqrt{3}}+k2pi  end{matrix}(kin mathbb{Z}) right.

Ví dụ 6: Giải phương trình tan left( frac{pi }{4}(operatorname{s}text{inx}+1) right)=1

Hướng dẫn giải

tan left( frac{pi }{4}(operatorname{s}text{inx}+1) right)=1Leftrightarrow frac{pi }{4}(operatorname{s}text{inx}+1)=frac{pi }{4}+kpi

Leftrightarrow operatorname{s}text{inx}+1=1+4kLeftrightarrow operatorname{s}text{inx}=4kLeftrightarrow operatorname{s}text{inx}=0Leftrightarrow x=kpi text{ }(kin mathbb{Z})

Ví dụ 7: Giải phương trình: cos 3x+cos 2x-cos x-1=0

Hướng dẫn giải

cos 3x+cos 2x-cos x-1=0Leftrightarrow 4{{cos }^{3}}x-3cos x+(2{{cos }^{2}}x-1)-cos x-1=0

Leftrightarrow 2{{cos }^{3}}x+{{cos }^{2}}x-2cos x-1=0

Đặt a=cos x, ain [-1,1]

2{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-2a-1=0Leftrightarrow (a-1)(a+1)(2a+1)=0 Leftrightarrow left[ begin{align} & a=1  & a=-1  & a=-frac{1}{2}  end{align} right.

  • a=pm 1Leftrightarrow cos x=pm 1Leftrightarrow x=kpi text{ (k}in mathbb{Z})
  • a=-0.5Leftrightarrow operatorname{cosx}=-0.5Leftrightarrow x=pm frac{2pi }{3}+k2pi text{ (k}in mathbb{Z}text{)}

III. Bài tập tự luyện

Giải phương trình lượng giác sau:

1. sin 2x-2cos 2x=0

2. tan 2x=tan x

3. cot x.sin 2x=0

4. {{cos }^{2}}x-sin 2x=0

5. cot 2x.cot 5x=1

6. cos left( 2x-frac{pi }{6} right)=cos left( x-frac{pi }{3} right)

7. 2{{sin }^{2}}x-sin x=0

8. 2cos x.cos 2x+1=0

9. si{{n}^{2}}x-3sin xcos x+1=0

10. cos 8x+cos4x-1=0

11. sin (x+1)+cos(2x-1)=0

Trên đây website đã chia sẻ đến các bạn học sinh Phương trình lượng giác cơ bản nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về phương trình lượng giác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button